Живя в Михайловском уединенно, Пушкин не мог не видеть и не слышать.
Вопрос: почему после слова уединенно пишется запятая?

Потому что "живя в Михайловском уединенно"- это деепричастный оборот, и он всегда обособляется запятыми.