почему в слове опасный пишется одна буква н

Это отглагольное прилагательное. Оно образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида СТУДИТЬ, поэтому и пишется с одной Н. Вспомните правило написания Н и НН в причастиях и отглагольных прилагательных: Пишем НН, если а) есть приставка, кроме НЕ: скошенный, нескошенный, выкрашенный, израненный; б) есть зависимое слово: крашенный мамой, сеянный весной, раненный в бою; в) есть суффикс ОВА, ЕВА: маринованный, асфальтированный; г) слово образовано от бесприставочного глагола совершенного вида: решённый (от решить – что сделать?) , исключение раненый. Пишем Н, если слово образовано от бесприставочного глагола несовершенного вида: жареный, бешеный, студёный и т. д. (от жарить, бесить, студить – что делать? )