Как надо писать слова : соревнования (по) бегу; (по)ьегу первым?

По бегу;побегу.

соревнования по бегу и побегу первым

Соревнования по бегу. ( В этом предложении мы говорим про то , что соревнования не по прыжкам и т.п. , а именно по бегу. Значит отдельно)Я побегу первым. ( Я что сделаю ?- побегу )