Нужно ли ставить запятую после "тем самым"?
Тем самым автор рассматривает проблему...

Нет, по крайней мере нам так говорил учитель. И вообще она говорит, что употреблять тем самым не следует обычно (как и в твоем случае, если это ты написал). Лучше, например, написать:таким образом (вот после таким образом как раз ставится запятая)

Вроде не нужно, но я бы составила это предложение немного иначе.