Почему в первом предложении Петрово с большой буквы, а во втором с маленькой?
В своём Летнем саду Пётр 1, как радушный хозяин, любил усердно потчевать гостей,но (Петрово) хлебосольство порой становилось хуже...Первым публичным музеем России, как известно, стала (петровская) Кунсткамера

Действительно лингвистический вопрос.Ответ лежит её разделе - лексикологии(словарном запасе литературного языка).Типичное явление - переход имени существительного из собственного в нарицательное в связи с частотой его пользования в лексике населения.Когда-то "петровская" поистине была приурочена к частной собственности и к истории России не имела никакого отношения.Но с течением времени слово приобрело нетипичное,небезызвестное значение,оно уже не несёт той яркой смысловой,эмоциональной окраски(ибо Кунсткамера принадлежала Петровым).Увы,или ах,но это частное лингвистическое явление.Большинство мы пишем с маленькой буквы то,что 300 лет назад писали с большой.