Как пишется слово дорожЕнька ? Какое правило ?

Это ошибка. Правильно так:в суффиксе существительных после шипящих под ударением пишется О,а без ударения - Е.

Эти объяснения неверные.

ДорожЕнька Без.гл.в корне слова

ПРАВОПИСАНИЕ СУЩЕСТВ После шипящих ж ч ш щ буква ь пишется в окончании т з с ж   пишется  суффикс -чик (согласно можно проверить же суффикс что в словах РЕЧЕНЬКА ДОРОЖЕНЬКА и т д