Внимательно слушая или читая старинные сказания, люди вспоминают памятные события русской истории
Синтаксический разбор ( и как подчеркнуть дополнение и т.д)

по-моему*

есть, слушая и читая - это причастия)

а не деепричастия?

ой, пардон, они самые

)))

внимательно слушая или читая старинные сказания(все как определение, т.к. это причастный оборот), люди (подлежащие) вспоминают (сказуемые) памятные (определение) события (дополнение) русской (определение) истории (дополнение)