Какой частью речи является сочетание "(не)смотря". Мальчик шел, (не)смотря на усталость.

В данном предложении НЕСМОТРЯ НА - это предлог, пишем слитно: несмотря на усталость.

(если бы было деепричастие, писалось бы раздельно, например: не смотря по сторонам, можно заменить на "не глядя" по сторонам)