(По)осенниму светит солнце.(По)оснниму лесу люблю прогуливаться. Подскажите пишется слитно раздельно или через дефис э, объясните почему

По-осеннему светит солнце. (как , по-осеннему-наречие,приставка по и суффикс ему)Люблю прогуливаться по осеннему лесу(по-предлог; осеннему-прилагательное) (по чему?) по лесу, лесу (какому?)осеннему.