Как пишется слово (по) зимнему в 2-ух случаях?
1. Солнце светило (по) зимнему неярко.
2. (По) зимнему небу плывут тяжёлые облака.

1. по-зимнему (как? наречие)2. по зимнему (по какому? прилагательное)

В первом и во втором случае будет писаться через дефис, потому что это наречие. по приставка и ему суффикс.