Жить бы и радоваться всем среди этой красоты!

Выписать грамматическую основу.

А частица "бы" разве не относится?

нет, это же частица. Союз "и" к основе не относится

Но ведь в предложении они выступают вместе с глаголом, даже если не стоят рядом, и являются одним членом предложения

нет, союзы и частицы не могут быть членами предложения

Отдельными не могут, поэтому частицы идут вместе с глаголом и считаются одним членом предложения - сказуемым.

Жить бы и радоваться

Жить и радоваться - это и есть основа

Подлежащего нет , сказуемые : жить бы и радоваться. Частица БЫ входит, так как служит для образования условного наклонения глагола