Некогда он служил в гусарах, и даже счастливо; никто не знал причины, ПОБУДИВШЕЙ его выйти в отставку и поселиться в бедном местечке
Морфологический разбор выделенного слова пж

Побудившей - особая форма глагола - причастие; образовано от глагола побудить; н.ф. - побудивший. Постоянные признаки: действительное, совершенный вид, прошедшее время, непостоянные признаки: в ж.р., в ед.ч., в Р.п. В предложении является обособленным определением вместе с зависимыми словами.