Какой падеж у слова сидеть ЗА КНИГАМИ ???

Т.п.

творительный падеж, так как задаем вопрос за чем?

да

За чем? Творительный падеж

Сидеть (за чем?) за книгами.На вопросы "Кем? чем?" отвечает Творительный падеж (Т. п.)Следовательно, у слова ЗА КНИГАМИ Творительный падеж