Март тоже весна.
В учебнике написано, что "тоже" является союзом в этом предложении. Почему? Я бы подумал, что это частица.

Слово "тоже" является союзом (тут уж не поспоришь - так сложилось :-) ) , а вот "то же" (то же дерево, за которым я в детстве прятался) это местоимение с частицей "же"