Проверьте на ошибки:
Задается вопрос кто же все-таки прав?

я думала, что это не прямая речь, а такое предложение

А! Ну, смотри: обычно через запятую пишется что-то вроде этого: "Спрашивается, кто же все-таки прав?". Или "Некто поинтересовался, - кто же все-таки прав?". То-есть уместно ставить простую запятую после простого глагола. Но в принципе при упрощенной современной речи и так "можно". )))

Смотря для каких целей. Можно с двоеточием без кавычек, тоже вариант.

Задается вопрос: "Кто же все-таки прав?" Мне кажется, пропущены знаки препинания)))