Почему не ставятся запятые перед словом «после» и после слова «усилий» в предложении «На дне лодки я нашёл половину старого весла и кое-как после долгих усилий причалил к берегу.»

Потому что здесь они не нужны. Грамматическая основа в предложении - я нашел, причалил. Кое-как - это обстоятельство, выраженное наречием, вопрос задается от сказуемого причалил (как?).