Однокоренные ли слова сыр и сырость?

нет сырость от слова сыро

Нет. Сыр — это молочное изделие. А сырость — это, например, когда в доме холодно, короче говоря неприятное ощущение чувствуешь.Поэтому слова "сыр" и "сырость" НЕ однокоренные.