В каких случаях буква е под ударением может обозначать звук э после твёрдых гласных?

Гласный [э] употребляется в большинстве случаев после мягких согласных.

Дети [д’э́т’и], вес [в’э́с].

Но здесь есть отступления. Звук [э] сочетается с твёрдыми согласными:

после [ж], [ш], [ц];

Жест [жэ́ст], шесть [шэ́с’т’], цены [цэ́ны].

в некоторых иноязычных словах;

Тест [тэ́ст], темп [тэ́мп].

в некоторых сложносокращённых словах.

ГЭС, ВТЭК.