У меня возник спор с одноклассницей.
Она утверждает, что слово Мириться можно употребить так : Померитесь и Помиритесь.
Но я ей доказывают обратное, что данное слово можно употребить только так "Пом`иретесь" кто в этом случае прав?

Померитесь, это не верно, даже слова такого нет. Корень мер используется для слов МЕРИТЬ, ПРИМЕРИТЬ.А вот помиритесь, верно, так как здесь корень МИР ( проверочное слово такое же, мир )

конечно, прав тот, кто утверждает, что правильно слово помиритесь, ведь у слова мир и помиритесь одинаковый корень, значит они однокоренные. Слова померитесь вообще не существует в русском языке