Если фразеологизм состоит из нескольких слов, то каждое слово в нём будет являться отдельным членом предложения?

Нет. Фразеологизм - это нечленимое устойчивое выражение. Мы просто не можем отделить одно слово от другого. Например От увиденного у меня волосы встали дыбом ( фразеологизм является сказуемым)