В каких случаях частица -не- пишется слитно с деепричастием?

Обычно пишется раздельно, и не важно, одиночное это деепричастие, или у него есть зависимые слова.

Но, есть исключения:

Если деепричастие не употребляется без НЕ (недомогая, негодуя, недоумевая, ненавидя и т.д.);

Если деепричастие образовано от глагола с приставкой недо- и имеет значение неполноты, недостаточности (недослышав, недоплатив, недосчитавшись, недокричавшись и т.д.).