Какая тут грамматическая основа? Разберите предложения по составу.
Олимпийские игры - важнейшее из празднеств, во время которого объявился во всей Греции всеобщий мир.
На них состязались в беге, борьбе, кулачном бою бросании диска и копья а также в беге колесниц

1 основа: Олимпийские игры -подлежащее,

важнейшее из празднеств - сказуемое.

2 основа: объявился - сказуемое, мир - подлежащее.

2 предложение: состязались - сказуемое, подлежащего нет. Если подробно нужно, то можно добавить, что бег, борьба и т.п однородные члены