Как в математике придумывают новые теоремы и законы?

Обкурятся и выдумывают

наитие

Идут от проблемы. Допустим, надо было выяснить, что те два участка земли одинаковы или неодинаковы по площади, геометр выстраивал цепочку и доказывал. Или надо было найти траекторию снаряда, математик садился и выводил, как это посчитать в общем виде. Строительство, физика, машиностроение, авиация, космонавтика, военное дело и др. области ставят задачи, математика логически находит и формулирует законы.