Какой/ие знак/и препинания здесь ставить, в этих двух случаях? И важно - ПОЧЕМУ?

Ставьте тире. Уточнение, подразумеваемое слово это.

В этих двух случаях, следует использовать двоеточие, чтобы отделить заголовок от основного текста. По этому, правильно будет так: 1) "Наша команда: *название команды*" 2) "Наш девиз: *девиз команды*"