Помогите пожалуйста с математикой. Вычислить производную функции.

Хорошо, я помогу вам с математикой. Вот производные функций, которые вы запросили:

**a. \(y=e^{sin~x}(x-2^{x})\)**

Для вычисления производной этой функции мы можем использовать правило умножения и правило произведения сложной функции.

```
dy/dx = (e^{sin~x}(1) + e^{sin~x}(-2^{x}ln(2)))
= e^{sin~x} + e^{sin~x}(-2^{x}ln(2))
= e^{sin~x}(1 - 2^{x}ln(2))
```

**b. \(y=\frac{cos~x}{2xarctg~x}\)**

Для вычисления производной этой функции мы можем использовать правило деления.

```
dy/dx = \frac{(2xarctg~x)d/dx(cos~x) - cos~xd/dx(2xarctg~x)}{(2xarctg~x)^2}
= \frac{(2xarctg~x)(-sin~x) - cos~x(2)}{(2xarctg~x)^2}
= \frac{-2xsin~x - 2cos~x}{4x^2arctg^2~x}
= \frac{-xsin~x - cos~x}{2x^2arctg^2~x}
```

**c. \(y=arcsin^{3}(cos~x)\)**

Для вычисления производной этой функции мы можем использовать правило возведения в степень.

```
dy/dx = 3arcsin(cos~x)d/dx(arcsin(cos~x))
= 3arcsin(cos~x)(\frac{1}{\sqrt{1-cos^2(x)}})
= \frac{3arcsin(cos~x)}{\sqrt{1-cos^2(x)}}
= \frac{3arcsin(cos~x)}{\sqrt{sin^2(x)}}
= \frac{3arcsin(cos~x)}{\sin(x)}
```

**d. \(y=(cos~x)^{ln(cos~x)}\)**

Для вычисления производной этой функции мы можем использовать правило логарифмирования и правило сложной функции.

```
dy/dx = ln(cos~x)d/dx(cos~x)^{ln(cos~x)}
= ln(cos~x)(\cos~x)^{ln(cos~x)}ln(\cos~x)
= (\cos~x)^{ln(cos~x) - 1}ln(\cos~x)
```

**e. \(
\begin{cases}
x(t)=sin~t\\
y(t)=ln~cos~t
\end{cases}
\)**

Для вычисления производной этой системы уравнений мы можем использовать правило дифференцирования функции от функции.

```
\begin{aligned}
dy/dt &= \frac{d}{dt}[ln~cos~t]\\
&= \frac{1}{\cos~t}d/dt(\cos~t)\\
&= -\frac{\sin~t}{\cos^2~t}\\
&= -\frac{\sin~t}{\cos~t}
\end{aligned}
```

**Ответы:**

a. \(dy/dx = e^{sin~x}(1 - 2^{x}ln(2))\)
b. \(dy/dx = \frac{-xsin~x - cos~x}{2x^2arctg^2~x}\)
c. \(dy/dx = \frac{3arcsin(cos~x)}{\sin(x)}\)
d. \(dy/dx = (\cos~x)^{ln(cos~x) - 1}ln(\cos~x)\)
e. \(dy/dt = -\frac{\sin~t}{\cos~t}\)