Прошу Вас сообщить адрес библиотеке или библиотеки?

Это смотря к кому и как ты обращаешься.

адрес библиотеки

И

если ты хочешь чтоб тебе сообщили адрес- "библиотеки"
если просишь сообщить адрес чего либо в библиотеку (например позвонить библиотекарю и сообщить адрес) - "библиотеке"

Какая библиотека в 3 часа ночи?
Если сообщить, где находится библиотека, то "библиотеки". Если в библиотеку сообщить, где живет посетитель, то "библиотеке"