Задача 10 класс

Так как расстояния от точки М до вершин треугольника равны, то точка М проецируется в точку О, центр описанной около треугольника окружности. Так как треугольник АВС правильный, то центр описанной окружности есть точка пересечения высот, медиан и биссектрис треугольника.

Высота ВН = АС * √3 / 2 = 6 * √3 / 2 = 3 * √3 см.

ВН высота и медиана. По свойству медиан треугольника, ОВ / ОН = 2/1.

Тогда ОВ = 2 * √3 см, ОН = √3 см.

В прямоугольном треугольнике ОВМ, по теореме Пифагора, OМ^2 = BM^2 – OB^2 = 16 – 12 = 4.

ОМ = 2 см.

Ответ: От точки М до плоскости АВС 2 см.