Геометрия. Задание ОГЭ

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле
�
=
1
2
×
�
×
�
S=
2
1
​
×a×b, где
�
a и
�
b - длины катетов.

Мы знаем, что площадь треугольника равна
288
3
288
3
​
. Поэтому:

288
3
=
1
2
×
�
×
�
288
3
​
=
2
1
​
×a×b

Также нам известно, что один из острых углов равен 60°. Поскольку это прямоугольный треугольник, второй острый угол также будет 30°.

Поскольку тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету, мы можем использовать формулу тангенса для вычисления прилежащего катета:

tan
⁡
(
6
0
∘
)
=
противолежащий катет
прилежащий катет
tan(60
∘
)=
прилежащий катет
противолежащий катет
​


tan
⁡
(
6
0
∘
)
=
противолежащий катет
�
tan(60
∘
)=
a
противолежащий катет
​


3
=
противолежащий катет
�
3
​
=
a
противолежащий катет
​


Таким образом,
противолежащий катет
=
�
×
3
противолежащий катет=a×
3
​
.

Подставляя это значение в формулу для площади, получаем:

288
3
=
1
2
×
�
×
(
�
×
3
)
288
3
​
=
2
1
​
×a×(a×
3
​
)

288
3
=
1
2
×
�
2
×
3
288
3
​
=
2
1
​
×a
2
×
3
​


Умножаем обе стороны уравнения на
2
3
3
​

2
​
, чтобы избавиться от дроби:

288
3
×
2
3
=
1
2
×
�
2
×
3
×
2
3
288
3
​
×
3
​

2
​
=
2
1
​
×a
2
×
3
​
×
3
​

2
​


576
=
�
2
576=a
2


�
2
=
576
a
2
=576

�
=
576
a=
576
​


�
=
24
a=24

Таким образом, длина катета, прилегающего к углу 60°, равна 24.