Старый князь, (не)смотря на явно старческую слабость, не счел себя вправе отказываться от должности, дававшей ему возможность (в)течени… некоторого времени знать все (на)счет положения дел.
Подчерките чл.предложения, определить части речи каждого слова

Старый (прилаг.)  князь (сущ.), несмотря (предлог) на ( предлог) явно (наречие) старческую (прилаг.)  слабость ( сущ.), не (предлог) счёл (глагол, сказуемое) себя ( местоимение) вправе ( наречие, сказуемое, думаю) отказываться ( глагол, сказуемое) от ( предлог) должности ( сущ.) , дававшей ( причастие)  ему (местоимение) возможность ( сущ) в течение ( производный предлог)  ("е", т.к речь идёт о времени) некоторого (прилаг.) времени ( сущ.) знать (глагол) всё ( местоим.) насчёт ( предлог) положения ( сущ.) дел (сущ.).