Может ли быть такая грамматическая основа: Видите ли . Или частица ли не входит?

Грамматическая основа: подлежащее - он, сказуемое - возьми да и скажи. Здесь союзы в составе сказуемого. В таких случаях, как мы видим, союзы входят в грамматическую основу предложения.)