Являются ли одно коренными словами
Ученик и школьник .И почему?

да у ученика корень уч

Нет, Ученик тут корень учен от слова ученый Школьник корень школ- от слова школа 

Нет. Эти слова синонимы, так как у них одинаковое лексическое значение, но разные корни. В слове ученик корень уч, а в слове школьник корень школь