Ставится ли запятая в предложении "Вечером пошёл сильный дождь и люди, уставшие, спешили с работы домой, не замечая никого на пути." после слова "дождь", учитывая, что если в ссп имеется общий второстепенный член, который относится к обеим частям этого предложения, то запятая не ставится?

Помогите, пожалуйста, и заранее благодарю.

Нет, запятая не ставится. Потому что, как в вопросе у вас помечено, "вечером" - общий член обеих частей предложения. Хотя... Если бы я писал такое предложение, то, вероятно, перед союзом у меня бы стояла запятая. Обоснование: нет твердой уверенности в том, что "вечером" - это член, относящийся ко второй части ссп... 

Для точного определения необходимости запятой следует изучить стиль автора. 

Но! Руководствуясь классическими правилами интерпретации, мы должны опустить зпт.

Ставится запятая после слова "дождь", так как если даже по смыслу получается "Вечером пошел сильный дождь и люди", получается и дождь и люди пошли.