Надо отредактировать предложения, но они вроде правильные. Может, кто-от знает
Обстеживши пацієнта, у лікаря з'явилися сумніви щодо попереднього діагнозу
Прочитавши твого листа, мені стало весело
Працівник зобов'язаний володіти і вживати державну мову

Насчет 3 еще возможно:Працівник зобов'язаний володіти державною мовою. Т.е. без "вживати"

1. Коли лікар обстежив пацієнта, у нього з'явилися сумніви щодо попереднього діагнозу. 2. Правильно. 3. Не уверена, но вроде: Працівник зобов'язаний вживати і володіти державною мовою.