Найти общее решение дифференциального уравнения: (x cos y - y sin y) dy + (x sin y + y cos y ) dx= 0

Найти общее решение дифференциального уравнения:
(x cos y - y sin y) dy + (x sin y + y cos y ) dx= 0
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  rodríguezmkz0
- 6 лет назад

Ответы 1

$(xcos(y)-ysin(y))dy+(x+sin(y)+ycos(y))dx=0$ $xsin(y)+ycos(y)+dy(xcos(y)-ysin(y))=0$ Допустим, R(x,y)=xsin(y)+ycos(y) и S(x,y)=xcos(y)-ysin(y).Это не строгое уравнение,т.к. R'(x,y)=xcos(y)-ysin(y)+cos(y)≠cos(y)=dS(x,y).Найдем интегрирующий фактор u(x), такой что u(x)*R(x,y)+u(x)dy*S(x,y)=0.Это означает: (u*R(x,y))'=d(u(x)*S(x,y)): $(cos(y)+xcos(y)-ysin(y)u(x)=du(xcos(y)-ysin(y))+cos(y)u(x)$ $\frac{du}{u}=1$ $ln(u)=1$ $u=e^x$ $e^x(xsin(y)+ycos(y))+(e^x(xcos(y)-ysin(y))dy=0$ Допустим, P(x,y)=e^x(xsin(y)+ycos(y)) и Q(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)).Это строгое уравнение,т.к. P'(x,y)=e^x(xcos(y)-ysin(y)+cos(y))=dQ(x,y).Введем f(x,y), такой что df(x,y)=P(x,y) и f'(x,y)=Q(x,y):Затем, решение будет для f(x,y)=c1, где c1- произвольная переменная. $f(x,y)=\int{e^x(ycos(y)+xsin(y)} dx=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1)+g(y)$ ;где g(y)- некоторая функция от y. $f'(x,y)=(e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))+g(y))'=$ $=e^x(cos(y)+cos(y)(x-1)-ysin(y))+g'(y)$ Сделаем замену f'(x,y)=Q(x,y): $e^x(cos(y)+cos(y)(x-1)-ysin(y))+g'(y)=e^x(xcos(y)-ysin(y))$ Возьмем g'(y): $g'(y)=0$ $g(y)=\int0\ dy=0$ Подставим g(y) к f(x,y): $f(x,y)=e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))$ Получаем решение: $e^x(ycos(y)+sin(y)(x-1))=c_1$
- Автор:
  jordan100
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ