Дана функция y=x^3+x^2-5x-3 Найдите:

а) Промежутки монотонности и точки экстремума;

б) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [0;4];

в) интервалы выпуклости функции.

Функция: у = х³ + х² -5х - 3Первая производная: y' = 3x² + 2x - 5а) Находим критические точки3x² + 2x - 5 = 0D = 4 + 60 = 64; √D= 8x1 = (-2 - 8)/6 = -1 2/3x2 = (-2 + 8)/6 = 1Поскольку производная y' = 3x² + 2x - 5 представляет собой квадратичную функцию, а график - параболу веточками вверх, то при х∈(-∞; -1 2/3) U (1; +∞) - производная положительна, следовательно, функция возрастает, а при х∈(-1 2/3; 1) -производная отрицательна, и в этом интервале функция убывает.Смена знаков производной с + на - в точке х = -1 2/3 говорит о том, что это точка экстремума, в ней функция имеет локальный максимум.Смена знаков производной с - на + в точке х = 1 говорит о том, что это точка экстремума, в ней функция имеет локальный минимум.б) в интервале [0; 4] мы имеем точку минимума х = 1, поэтому  наименьшее значение функции будет в этой точке у наим = у min = 1 + 1 - 5 - 3 = -6Наибольшее значение найдём на одном из концов интервалапри х = 0 у = -3при х = 4 у = 64 + 16 - 20 - 3 = 57Следовательно, у наиб = у(4) = 57в) Найдём 2-ю производную у'' = 6х + 2Приравняем её нулю: 6х  + 2 = 0 → х = -1/3 - точка перегиба.при х < -1/3 возьмём х = -1 y'' = -4 < 0, следовательно, в интервале х∈(-∞; -1/3) график функции - выпуклая кривая.при х > -1/3 возьмём х = 0 y'' = 2 > 0, следовательно, в интервале х∈( -1/3; +∞) график функции - вогнутая кривая.