Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • Помогите пожалуйста!!!!Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка.

    question img

Ответы 2

  • Пишите, если есть вопросы
  • Для начала найдём общее решение однородного уравнения:y''+2y'+5y=0Характеристическое уравнение:λ²+2λ+5=0D=4-20=-16√D=4iλ₁= (-2+4i)/2 = -1+2iλ₂= (-2-4i)/2 = -1-2iТогда общее решение однородного уравнения запишется в виде:y_{ob}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))Теперь найдём частное решения неоднородного уравнение. Оно будет искаться в виде:\bar{y}=Ax+B\\\bar{y}'=A\\\bar{y}''=0Подставляем и находим коэффициенты:\bar{y}''+2\bar{y}'+5\bar{y}=5x+7\\0+2A+5(Ax+B)=5x+7\\(5A)x+(2A+5B)=5x+7Коэффициенты при соответствующих степенях должны быть одинаковыми:(5A)x+(2A+5B)=5x+7\\ \left \{ {{5A=5} \atop {2A+5B=7}} ight. ightarrow \left \{ {{A=1} \atop {B=1}} ight. Получаем частное решение неоднородного:\bar{y}=Ax+B=x+1Тогда общее решение неоднородного дифференциального уравнения:y=y_{ob}+\bar{y}=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1y(0)=2\\e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+0+1=2\\1*(C_1*1+C_2*0)+1=2\\C_1=1y'=(e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1)'=\\=-e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+e^{-x}*\\ *(-2C_1sin(2x)+2C_2cos(2x))+1\\\\y'(0)=0\\-e^{-0}*(C_1cos(2*0)+C_2sin(2*0))+e^{-0}*\\ *(-2C_1sin(2*0)+2C_2cos(2*0))+1=0\\-1*(C_1*1+C_2*0)+1*(-2C_1*0+2C_2*1)+1=0\\-C_1+2C_2=-1\\-1+2C_2=-1\\C_2=0Ответ: y=e^{-x}*(C_1cos(2x)+C_2sin(2x))+x+1=\boxed{e^{-x}cos(2x)+x+1}
    answer img

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years