Во-первых, в дробную степень можно возводить только неотрицательные числа, поэтому формула:
![\sqrt[n]{a^{m} } =a ^{ \frac{m}{n} } \sqrt[n]{a^{m} } =a ^{ \frac{m}{n} }](https://tex.z-dn.net/?f= \sqrt[n]{a^{m} } =a ^{ \frac{m}{n} } )
справедлива только тогда, когда а≥0 и при этом n∈{2;3;4;5;...}Во-вторых, существует огромное количество примеров, ответы на которые зависят от написания числа: в виде корня n-ой степени или в виде дробной степени. Вот простой пример: решим 2 неравенства
![1) 8 ^{\frac{1}{x} }\ \textgreater \ 2 \\ 2) \sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2 1) 8 ^{\frac{1}{x} }\ \textgreater \ 2 \\ 2) \sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2](https://tex.z-dn.net/?f=1) 8 ^{\frac{1}{x} }\ \textgreater \ 2 \\ 2) \sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2)
решением первого неравенства:
 ^{\frac{1}{3} }\ \textgreater \ 2 \\ 2 ^{ \frac{3}{x} } \ \textgreater \ 2^1 \\ \frac{3}{x} \ \textgreater \ 1 \\ \\ \frac{3}{x} -1\ \textgreater \ 0 \\ \\ \frac{3-x}{x} \ \textgreater \ 0)
решаем методом интервалов и получаем:х∈(0;3)для второго неравенства появляется ОДЗ:если есть корень n-ой степени, то это самое число n может принимать ТОЛЬКО НАТУРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ, КРОМЕ ЕДИНИЦЫ, так как корень 1-ой степени не существует.то есть для нашего уравнения:х∈{2;3;4;5;...}
![\sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2 \\ (\sqrt[x]{8}) ^{x} \ \textgreater \ 2^x \\ 8\ \textgreater \ 2^x \\ 2 ^{3} \ \textgreater \ 2^x \\ 3\ \textgreater \ x \\ x\ \textless \ 3 \sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2 \\ (\sqrt[x]{8}) ^{x} \ \textgreater \ 2^x \\ 8\ \textgreater \ 2^x \\ 2 ^{3} \ \textgreater \ 2^x \\ 3\ \textgreater \ x \\ x\ \textless \ 3](https://tex.z-dn.net/?f=\sqrt[x]{8} \ \textgreater \ 2 \\ (\sqrt[x]{8}) ^{x} \ \textgreater \ 2^x \\ 8\ \textgreater \ 2^x \\ 2 ^{3} \ \textgreater \ 2^x \\ 3\ \textgreater \ x \\ x\ \textless \ 3)
c учетом ОДЗ решением будет являться только число 2ОТВ: х=2