При каких значениях a, функция: f(x) = x^2 - 3 | x - a^2 | - 7x имеет хотя бы одну точку максимума? Если можно, то с графиками!

У меня без графиков. И вообще не знаю, верно ли.

Ну сначала рассматриваем два случая раскрытия модуля:

1) При x >= a^2

f(x) = x^2 - 10x + 3a^2

Находим производную:

f'(x) = 2x - 10

Точка экстремума:

2x - 10 = 0

x = 5

2) При x < a^2

f(x) = x^2 - 4x - 3a^2

f'(x) = 2x - 4

2x - 4 = 0

x = 2

При подстановке точек экстремума в функцию получим:

f(2) = -10 -3|2 - a^2|

f(5) = -10 -3|5 - a^2|

То есть, нам нужно, чтобы модули не были равны, в этом случае будет одна точка максимума и одна точка минимума.

При a^2 <= 2

2 - a^2 <> 5 - a^2

2 <> 5

Верно при любых значениях а, то есть, подходит любое значение из промежутка

-sqrt(2) <= a <= sqrt(2)

При 2 < a^2 <= 5

2 - a^2 <> -(5 - a^2)

2a^2 <> 7

a <> sqrt(7/2)

То есть, подходят значения из промежутков

-sqrt(5) <= a < -sqrt(7/2),

-sqrt(7/2) < a < -sqrt(2), 

-sqrt(2) < a < sqrt(2),

sqrt(2) < a < sqrt(7/2) и

sqrt(7/2) < a <= sqrt(5).

При a^2 > 5

2 - a^2 <> 5 - a^2

2 <> 5

Верно для любых значений а из промежутков a < -sqrt(5) и a > sqrt(5)

То есть, для того, чтобы существовала хотя бы одна точка максимума, нам подходят значения а, принадлежащие промежуткам: (-беск; -sqrt(7/2)) U (-sqrt(7/2); sqrt(7/2)) U (sqrt(7/2); +беск).

(sqrt(x) - корень квадратный из х).

Как-то так, наверно.