Дифференциальное уравнение:xy''=y'ln(y'/x)

Ответы 1

$xy''=y'\cdot ln\frac{y'}{x}\\\\y'=p(x)\; ,\; \; y''=p'(x)\\\\x\cdot p'=p\cdot ln\frac{p}{x}\\\\p'=\frac{p}{x}\cdot ln\frac{p}{x}\\\\u=\frac{p}{x}\; ,\; \; p=ux\; ,\; \; p'=u'x+u\\\\u'x+u=u\cdot lnu\\\\u'x=u\cdot lnu-u \\\\\frac{du}{dx}\cdot x=u\cdot (lnu-1)\\\\\int \frac{du}{u\cdot (lnu-1)}=\int \frac{dx}{x}\\\\\int \frac{d(lnu-1)}{lnu-1}=\int \frac{dx}{x}\; ,\; \; \; [\; \int \frac{dt}{t}=ln|t|+C\; ,\; t=lnu-1\; ]\\\\ln|lnu-1|=ln|x|+lnC_1\\\\lnu-1=C_1x\\\\lnu=C_1x+1$ $u=e^{C_1x+1}\; \; \to \; \; \; \frac{p}{x}=\frac{y'}{x}=e^{C_1x+1}$ $y'=x\cdot e^{C_1x+1}\\\\\int dy=\int x\cdot e^{C_1x+1}\, dx\\\\\star \; \; u=x\;, \; du=dx\; ,\; dv=e^{C_1x+1}\, dx\; ,\; v=\frac{1}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}\; ,\\\\\int u\cdot dv=uv-\int v\cdot du\; \; \star$ $\int dy=\frac{x}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}-\frac{1}{C_1}\cdot \int e^{C_1x+1}\, dx\\\\y=\frac{x}{C_1}\cdot e^{C_1x+1}-\frac{1}{C_1^2}\cdot e^{C_1x+1}+C_2$
- Автор:
  spanky
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ

Еще вопросы