Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень. [tex]

Найдите все значение a, при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень.
[tex] \frac{x-2a}{x+2} + \frac{x-1}{x-a} =1[/tex]
Решить с объяснениями)
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  porter96
- 5 лет назад

Ответы 1

$\frac{x-2a}{x+2}+ \frac{x-1}{x-a} =1|\cdot ((x+2)(x-a)e0)$ $(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)=(x+2)(x-a)\\ \\ x^2-3ax+2a^2+x^2+x-2=x^2-ax+2x-2a\\ \\ x^2-(2a+1)x+2a^2+2a-2=0$ Решим квадратное уравнение относительно х $D=b^2-4ac= 4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9$ $x_{1,2}= \dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}$ Это квадратное уравнение будет иметь 2 корня.Найдем ОДЗ уравнения: $\displaystyle \left \{ {{x+2e 0} \atop {x-ae 0}} ight. \Rightarrow \left \{ {{xe-2} \atop {xe a}} ight.$ Подставим теперь в корень квадратного уравнения $-2=\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2} \\ \\ -4=2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} \\\\ -5-2a=\pm \sqrt{-4a^2-4a+9}$ Сразу говорю, что $-5-2a=-\sqrt{-4a^2-4a+9}$ , если брать с "+", то уравнение решений не будет иметь $2a+5=\sqrt{-4a^2-4a+9}$ Возведем обе уравнения в квадрат $4a^2+20a+25=-4a^2-4a+9\\ 8a^2+24a+16=0|:8\\ \\ a^2+3a+2=0$ По т. Виета: $a_1=-2;\,\,\,\,\, a_2=-1$ Теперь если х=а $\dfrac{2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9} }{2}=a\\ \\ 2a+1\pm \sqrt{-4a^2-4a+9 }=2a \\ \\ \pm\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1$ С "+" аналогично тоже решений не будет $-\sqrt{-4a^2-4a+9}=-1\\ \\ \sqrt{-4a^2-4a+9}=1\\ \\ -4a^2-4a+9=1\\ \\ 4a^2+4a-8=0|:4\\ \\ a^2+a-2=0$ По т. Виета: $a_3=-2;\,\,\,\, a_4=1$ Еще учтем, что когда D=0, то квадратное уравнение имеет один единственный корень $-4a^2-4a+9=0\\ 4a^2+4a-9=0\\ D=16+16\cdot9=160\\ \\ a_{5,6}= \dfrac{-4\pm4 \sqrt{10} }{8} = \dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2}$ Ответ: $-2;\,\,\, \pm1;$ $\dfrac{-1\pm \sqrt{10} }{2} .$
- Автор:
  clifford
- 5 лет назад
- 0
Добавить свой ответ