Задать вопрос Регистрация
Помочь другим


  • величина угла при основании равнобедренного треугольника равна альфа. При каком значении альфа отношение длин радиусов вписанной и описанной окружностей является наибольшим? Чему равно наибольшее значение этого отношения?

Ответы 1

  • Дано: ABC - треугольник, \angle BAC=\angle BCA=\alpha,\,\,\,\, AB=BCr - радиус вписанной окружностиR - радиус описанной окружности\angle ABC=180а-2 \alpha по т. Синусов:  \frac{AC}{\sin\angle ABC} = \frac{BC}{\sin \angle BAC} \frac{AC}{\sin(180а-2 \alpha )} = \frac{BC}{\sin \alpha } Откуда AC= \frac{BC\sin(180а-2 \alpha )}{\sin \alpha } = \frac{ BC\sin2 \alpha }{\sin \alpha } =2BC\cos \alpha Из площади треугольника АВС имеем, что S=0.5AC\cdot BC\sin \angle BCA=BC\cos \alpha \cdot BC\sin \alpha =BC^2\cos \alpha \sin\alpha Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле r= \frac{S}{p} p= \frac{AB+BC+AC}{2}= \frac{2BC+AC}{2} = \frac{2BC+2BC\cos \alpha }{2} =BC(1+\cos \alpha ) \frac{BC}{\sin \angle BAC} =2R\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\,\,\,\, R= \frac{BC}{2\sin \alpha } Тогда отношение  \frac{r}{R} = \frac{BC^2\sin \alpha \cos \alpha }{BC(1+\cos \alpha )} \cdot \frac{2\sin \alpha }{BC} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha } Нужно найти наибольшее значение функции  \frac{r}{R} = \frac{2\sin^2 \alpha \cos \alpha }{1+\cos \alpha } на промежутке \alpha \in (0; \frac{\pi}{2}) ( \frac{r}{R} )'=2\cdot \frac{(\sin^2 \alpha \cos \alpha )'(1+\cos \alpha )-(1+\cos \alpha )'\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ = 2\cdot\frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+\sin^2 \alpha \cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2}=\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha -1+\cos^2 \alpha )(1+\cos \alpha )+(1-\cos \alpha )(1+\cos \alpha )\cos \alpha }{(1+\cos \alpha )^2} =\\ \\ =2\cdot \frac{\sin \alpha (3\cos^2 \alpha -1+\cos \alpha -\cos^2 \alpha )}{1+\cos\alpha}== \frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha } Приравниваем к нулю \frac{2\sin \alpha (2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1)}{1+\cos \alpha }=0\\ \\ \sin \alpha =0;\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\, \alpha = \pi n,n \in Z\\ \\ 2\cos^2 \alpha +\cos \alpha -1=0 пусть \cos \alpha =t(|t| \leq 1), тогда имеем2t^2+t-1=0\\ D=b^2-4ac=1^2-4\cdot2\cdot(-1)=9\\ t_1=-1\\ t_2=0.5Обратная замена\cos \alpha =-1;\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow\,\,\,\,\,\, \alpha = \pi +2 \pi n,n \in Z\\ \cos \alpha =0.5;\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,\, \alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z На промежутке при n=0 корень x= \frac{\pi}{3} удовлетворяет.(0)___+__(π/3)__-___(π/2)В т. х=π/2 производная функции меняет знак с (+) на (-), следовательно х=π/3 - точка максимума.Найдем наибольшее значение этого отношения \frac{2\sin^2 \frac{\pi}{3} \cos\frac{\pi}{3} }{1+\cos\frac{\pi}{3} }=0.5 Ответ: наибольшее значение равно 0,5 при  \alpha =\frac{\pi}{3}

    • Автор:

      sadiehela
    • 5 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years