Арифметическая и геометрическая прогрессия.

11 + 101 + 1001 + 10001 + 100...001 = ...
                                          |_____|
                                               n

Варианты ответа:
А. [tex] \frac{10^{n+1} + n - 10 }{9} [/tex]
Б. [tex] \frac{10^{n+2} + 9n - 1 }{9}[/tex]
В. [tex] \frac{10^{n+2} -10 }{9}[/tex]
Г. [tex] \frac{10^{n+1} -10 }{9}[/tex]
Д. [tex] \frac{10^{n+2} + 10n - 1 }{9}[/tex]

Ответ совпал.

Замечаем, что11 + 101 + 1001 + 10001 + ... + 100...001 == (10 + 1) + (100 + 1) + (1000 + 1) + (10000 + 1) + ... + (100...000 + 1) == (n + 1) + (10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100...000)Количество единиц равно (n + 1). Это следует из простого соответствия количеству нулей в последнем числе. Если бы у нас был n=1, то и число единиц равно 1. Если n=2, то и число единиц равно двум. И т.д. В последнем числе за n взято количество нулей без учёта единицы в младшем разряде, которую мы отделили. Т.е. на месте этой единицы стоит ещё один нуль, а всего их (n+1). Значит, и единиц столько же суммируется.Во второй скобке спряталась геометрическая прогрессия с b1=10 и q=10. Количество же членов этой прогрессии тоже равно (n+1).Сумма геометрической прогрессии ищется по формуле:       b1 * (1 - q^n)S = ------------------           1 - qПодставляем наши значения, не забываем, что в нашем случае количество членов (которое в формуле фигурирует как n) равно (n+1)       10 * (1 - 10^(n+1))      10 - 10^(n+2)S = ------------------------- = --------------------               1- 10                            -9Добавляем сумму единиц:                                    10 - 10^(n+2)      -9 * (n+1)Сумма = S + (n+1) = -------------------- + ------------- =                                              -9                    -9    10 - 10^(n+2) - 9n - 9     -10^(n+2) - 9n + 1     10^(n+2) + 9n - 1= ----------------------------- = ------------------------- = ------------------------                   -9                                  -9                              9Ответ: Б.