Укажите множество точек M (x,y), координаты x и yкоторых удовлетворяют соотношениям
[tex] \left \{ {{ x^{2} + y^{2}+4x+2y \leq 11 } \atop { x^{2} + y^{2} -8x -14y \leq -29 }} ight. [/tex]

Оба неравенства приводятся к каноническому виду (x - a)^2 + (y - b)^2 <= r^2, решение которого - внутренность (с границей) круга с центром в точке (a, b) и радиусом r.x^2 + y^2 + 4x + 2y <= 11(x^2 + 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) <= 11 + 4 + 1(x + 2)^2 + (y + 1)^2 <= 16(x + 2)^2 + (y + 1)^2 <= 4^2 - круг с центром (-2, -1) и радиусом 4.x^2 + y^2 - 8x - 14y <= -29(x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 14y + 49) <= -29 + 16 + 49(x - 4)^2 + (y - 7)^2 <= 36(x - 4)^2 + (y - 7)^2 <= 6^2 - круг с центром (4, 7) и радиусом 6.Решение системы - все точки, которые одновременно принадлежат обоим кругам.Расстояние между центрами кругов равно √((4 + 2)^2 + (7 + 1)^2) = 10 и равно сумме радиусов, поэтому круги касаются и искомое множество состоит из одной точки - точки касания окружностей, ограничивающих круги.Вычитаем из уравнения первой окружности уравнение второй окружности:(x^2 + y^2 + 4x + 2y) - (x^2 + y^2 - 8x - 14y) = 11 - (-29)12x + 16y = 403x + 4y = 10Кроме того, точка касания должна лежать на прямой, соединяющей центры. Угловой коэффициент этой прямой (7 - (-1))/(4 - (-2)) = 8/6 = 4/3, поэтому уравнение имеет вид y - 7 = 4/3 (x - 4), или y = (4x + 5)/3.Подставляем y из второго уравнения в первое, получаем3x + 4(4x + 5)/3 = 109x + 16x + 20 = 3025x = 10x = 0.4y = (4 * 0.4 + 5)/3 = 6.6 / 3 = 2.2Ответ. Множество состоит из точки (0.4, 2.2).