Трикутник ABC заданий координатами вершин А(-4;-2), В(8;3), С(6;1). Знайти внутрішній кут при вершині С.

пусть а,в,с - стороны треугольника, лежащие против углов А,В,С соответственно

а=V(8-6)^2+(3-1)^2=V8

в=V(6+4)^+(1+2)^2=V109

c=V(8+4)^2+(3+2)^2=V169

по теореме косинусов:

с^2=a^2+в^2-2aв*cosC, отсюда

cosC=(a^2+в^2-c^2)/2aв=(8+109-169)/2*V8*109=-52/4*V218=-13/V218

cosC=-0,88047

уг.С=151,7 град. 

Распишем координаты векторов СА и СВ:

СА: (-4-6; -2-1)  или (-10; -3).

СВ: (8-6; 3-1)   или (2; 2)

Их модули: /CA/= кор(100 + 9) = кор(109),

                  /CB/ = кор(4+4) = кор8.

Вектор АВ: ( 8-(-4); 3-(-2)) или (12; 5)

Модуль /АВ/ = кор(144 + 25)  = 13.

Скалярное произведение: СА*СВ = (-10)*2 + (-3)*2 = -26

cosC = (CA*CB) /(/CA/*/CB/) = -26/(кор872) = - 13/(кор218)

Ответ: С = arccos(-13/(кор218))