1) Докажите, что при любом натуральном n число 2*7^2n+16^n+8*5^n кратно 11

 

2) При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)*x^2-(2a+5)*x+a=0

имеет два действительных корня, больших -1?

 

3)Вычислите:

[(sqrt(1-sin^2(153*))+sqrt(tg^2(207*)-sin^2(207*)]*sin(63*) 

1. Будем доказывать методом математической индукции.

Проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14  -  делится на 11.

б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k   - делится на 11. Где k - произвольное натуральное число.

в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение - тоже делится на 11:

Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое - исходя из предположения, второе - имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

Значит исходное выражение делится на 11.  что и требовалось доказать.

2)

D>0    a>-25/16   a>-1,5625

Разбиваем ОДЗ на две части:

а) (-1; беск)

Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:

16a+25<16a^2+56a+49

Корни  -1; -1,5   Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск)

б) (-1,5625; -1)

Правая чать на выбранной области - отрицательна, что недопустимо. Здесь решений нет.

Ответ: (-1; бескон).

3.

Ответ: 1