Найти наименьшее значение а, при котором имеет решения уравнение.

0,5(sinx+sqrt3cosx)=8-7a-2a^2

Согласно формуле сложения гармонических колебаний

sin x + √3 * cos x = 2 * sin (x + π/3)

Тогда уравнение принимает вид

sin (x+π/3) = 8 - 7 * a - 2 * a² = 14,125 - (6,125 + 7 * a + 2 * a²) =

14,125 - 2 * (a² +3,5 * a + 3,0625) = 14,125 - 2 * (a + 1,75)²

Поскольку значение синуса лежит в пределах от -1 до 1, то

-1 ≤ 14,125 - 2 * (a + 1,75)² ≤ 1 ,  откуда

6,5625 ≤ (a + 1,75)² ≤ 7,5625

Итак,  √6,5625 ≤ а + 1,75 ≤ 2,75   или  -2,75 ≤ а + 1,75 ≤ -√6,5625 .  Тогда

           √6,5625 - 1,75 ≤ а ≤ 1   или  -4,5 ≤ а ≤ -√6,5625 - 1,75

Следовательно, минимальное значение параметра, при котором уравнение имеет решение  а = -4,5