Разность четвертого и первого членов геометрической прогрессии
равна 26, а разность пятого и третьего членов равна 78. Найдите
сумму первых шести членов этой прогрессии.

На основании задания составляем равенства:a₁q³ - a₁ = 26,       a₁(q³ - 1) = 26.      a₁(q - 1)(q² + q + 1) = 26, a₁q⁴ - a₁q² = 78,    a₁q² (q² - 1) =78,  a₁q² (q - 1)(q + 1) =78.Разделим второе равенство на первое, произведя сокращение на a₁(q - 1), с учётом того, что знаменатель прогрессии q не может быть равен 1, иначе разность между любыми членами равна 0.Получаем  (q²(q + 1))/(q² + q + 1) = 3.Приведя подобные, получаем кубическое уравнение:q³ - 2q² - 3q - 3 = 0.Решение его с использованием формулы Кардано приведено в приложении: q = 3,220693.Находим первый член: а₁ = 26 /(q³ - 1) =  0,802276.Сумма первых шести членов этой прогрессии равна:S6 = (a₆q - a₁)/(q - 1) =  402,8485.Для проверки даются члены этой прогрессии. 0,802276     2,583885     8,321898      26,80228      86,32189      278,0163.