Задать вопрос Регистрация
Помочь другим

  • 100 баллов. Тройной интеграл. Прошу подробно. Фейковые сразу бан).

    question img

Ответы 4

  • Описки/арифметику поправлю сейчас.

    • Автор:

      will31
    • 6 лет назад
    • 0
  • Готово.
  • e/2 - 1

    • Автор:

      matey
    • 6 лет назад
    • 0
  • Перейдём от переменных {x, y, z} к новому набору переменных {u, y, z}, где u = xyz. В новых переменных V задаётся неравенствами 0 ≤ u ≤ 1, y ≥ 1, z ≥ 1.Якобиан обратного преобразования:\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}=\dfrac{\partial u}{\partial x}=yzЯкобиан обратного преобразования положительный на V, поэтому переход к новым переменным точно взаимно-однозначный, якобиан прямого преобразования J=\dfrac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,y,z)}=\left(\dfrac{\partial(u,y,z)}{\partial(x,y,z)}ight)^{-1}=\dfrac1{yz}Теперь тройной интеграл легко сводится к повторным:\displaystyle\iiint_V e^{xyz}yx^2\,dV=\iiint_V e^u y\cdot\left(\frac{u}{yz}ight)^2 |J|\,du\,dy\,dz=\\=\int_0^1 u^2e^u\,du\int_1^\infty\frac{dy}{y^2}\int_1^\infty\frac{dz}{z^3}Второй и третий интегралы табличные, первый берётся по частям:\displaystyle\int_0^1u^2e^u\,du=\left.(u^2-2u+2)e^uight|_0^1=e-2Ответ:\dots=(e-2)\cdot 1\cdot\dfrac12=\dfrac {e-2}2В принципе, выписывать новые переменные было необязательно, можно было бы проинтегрировать и так, сначала по x (0 ≤ x ≤ 1/yz), затем получатся такие же интегралы по y и z.

    • Автор:

      pippin
    • 6 лет назад
    • 0

  • Добавить свой ответ

Еще вопросы

Топ пользователей

Войти через Google

 или

Забыли пароль?

У меня нет аккаунта, я хочу Зарегистрироваться

How much to ban the user?
1 hour 1 day 100 years