Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x = 0,

Пользуясь определением установить, существует ли производная функции f(x) в точке x = 0, если:
Пожалуйста помогите со всеми пунктами (смотри картинку).
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  venancio
- 6 лет назад

Ответы 6

Получается всегда надо проверять непрерывность?
- Автор:
  gypsycarrillo
- 6 лет назад
- 0
Точно не могу сказать, в разных источниках по разному пишут
- Автор:
  jade62
- 6 лет назад
- 0
В одних сказано, что функция должна быть непрерывна в точке, чтобы существовала производная в этой точке. В других источниках пишут, что есть необходимый и достаточный признак и он (наверное) подразумевает, что функция является непрерывной, если выполняется данное условие
- Автор:
  mallorycovx
- 6 лет назад
- 0
Спасибо
- Автор:
  ellory
- 6 лет назад
- 0
Пожалуйста
- Автор:
  jaydonnvfe
- 6 лет назад
- 0
производная по определению:
$f(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} ,$ где
$\Delta y =f(x+\Delta x)-f(x)$
необходимое и достаточное условие существование производной:
$f'(x_0-0)=f'(x_0+0)$ , то есть
$\lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$
$a) f(x)=|x^3| \\ \Delta y=|(x+\Delta x)^3|-|x^3|$
нужно определить, существует ли производная в точке x=0, поэтому подставляем вместо х нуль:
$\Delta y=|(0+\Delta x)^3|-|0^3|=|(\Delta x)^3|$
Напомню, что когда под модулем стоит положительное число, то знак модуля просто убирается,
а если отрицательное, то знак модуля также убирается, но впереди ставится знак минус!
Левосторонний предел:
$f'(x_0-0)= \lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{|(\Delta x )^3|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to -0} \ \frac{-(\Delta x)^3}{\Delta x} \\ \\ =\lim_{\Delta x \to -0} \ -(\Delta x)^2=\lim_{\Delta x \to -0} \ -(-0)^2=0$
Аналогично для правостороннего:
$f'(x_0+0)= \lim_{\Delta x \to+0} \ \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to +0} \ \frac{|(\Delta x )^3|}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to +0} \ \frac{(\Delta x)^3}{\Delta x} \\ \\ =\lim_{\Delta x \to +0} \ (\Delta x)^2=\lim_{\Delta x \to +0} \ (+0)^2=0$
f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0
б)
$\Delta y=|x+\Delta x|+x+\Delta x - (|x|+x)=|0+\Delta x|+0+\Delta x - (|0|+0)= \\ \\ =|\Delta x| +\Delta x \\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta y}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to -0} \frac{|\Delta x| +\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to -0} \frac{-\Delta x +\Delta x}{\Delta x} =0\\ \\ 2)\lim_{\Delta x \to +0} \frac{|\Delta x| +\Delta x}{\Delta x} =\lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x +\Delta x}{\Delta x} =2$
f'(x_0-0)≠f'(x_0+0) ⇒ производная не существует в точке х=0
в)
$\Delta y=sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-sin(\frac{1}{ x} )=sin(\frac{1}{\Delta x})-sin(\infty)\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{sin(\frac{1}{\Delta x})-sin(\infty)}{\Delta x} =\frac{sin(\infty)-sin(\infty)}{0}$
Предела не существует ⇒ производной нет
г)
$\Delta y=(x+\Delta x)sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-xsin(\frac{1}{ x} )=\Delta x*sin(\frac{1}{\Delta x})\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta x*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0} sin(\frac{1}{\Delta x})=sin(-\infty)$
Предела не существует ⇒ производной нет
д)
$\Delta y=(x+\Delta x)^2sin(\frac{1}{x+\Delta x} )-x^2sin(\frac{1}{ x} )=\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})\\ \\ 1) \lim_{\Delta x \to -0} \frac{\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to -0}\Delta x* sin(\frac{1}{\Delta x})=0\\ \\ 2) \ \lim_{\Delta x \to +0} \frac{\Delta x^2*sin(\frac{1}{\Delta x})}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to +0}\Delta x* sin(\frac{1}{\Delta x})=0$
Так как функция кусочно-заданная, то проверим будет ли она непрерывна в точке х=0 $A=\lim_{x \to-0} x^2*sin \frac{1}{x} =0*sin(-\infty)=0 \\ \\ B=\lim_{x \to+0} x^2*sin \frac{1}{x} =0*sin(\infty)=0 \\ \\ f(0)=0$ A=B=f(0)=0 ⇒ функция не прерывна
f'(x_0-0)=f'(x_0+0) ⇒ производная существует в точке х=0
- Автор:
  jadondixp
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ