Найдите инфимум и супремум для множества { (( − 1 )^n)*((1/4) − 2/n ) : n ∈ N } . Ответ укажите в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.

Найдите инфимум и супремум для множества { (( − 1 )^n)*((1/4) − 2/n ) : n ∈ N } . Ответ укажите в виде десятичных дробей, разделенных пробелом.
- Предмет:
  Алгебра
- Автор:
  sophiebright
- 6 лет назад

Ответы 4

К сожалению пишет что ответ не правильный (((
- Автор:
  keenankerr
- 6 лет назад
- 0
Видимо потому что нужно было написать ответ в виде десятичной дроби: 0.25 и -0.25
- Автор:
  aidanrivera
- 6 лет назад
- 0
А само решение правильно, в этом я уверен.
- Автор:
  jettazkys
- 6 лет назад
- 0
Докажем вначале важное утверждение которым и воспользуемся.
Утверждение:
Пусть А - непустое и не конечное множество, так что $A\subseteq \mathbb R$ . Предположим что существует $x \in \mathbb R$ так что $\forall y \in A \Rightarrow y\leq x$ . Если существует последовательность $(a_n)$ элементов из А выполняющая $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$ то $\sup A=x$ .
Доказательство:
Допустим от противного, что $\sup A e x$ , тогда существует $z \in \mathbb R$ так что $\forall y\in A \Rightarrow y \leq z \land z < x$ .
Из-за того что $a_n \leq z$ , обязательно выполняется $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \leq z < x$ что противоречит тому что $\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = x$ .
Следовательно $\sup A = x$ .
Существует эквивалентное утверждение связанное с инфимумом, но доказывать его не буду (оно аналогично прошлому доказательству, но с некоторыми изменениями).
Теперь решим саму задачу:
Заметим что данное множество состоит из элементов последовательности $a_n =(-1)^n \cdot ((1/4)-2/n)$ , а также тот факт что для всех $n\in \mathbb N$ :
$\displaystyle |a_n| = 1/4 - 2/n < 1/4$
Т.е.:
$-1/4 < a_n <1/4$
Рассмотрим две подпоследовательности - $(a_{2n}), (a_{2n-1})$
Так как:
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_{2n} = 1/4\\ \lim_{n \to \infty} a_{2n-1}=-1/4$
Получаем: $\sup A = 1/4, \inf A = -1/4$
- Автор:
  nemog8ik
- 6 лет назад
- 0
Добавить свой ответ